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DL：常用最优化算法

点击数：     更新时间：2024-05-13 09:32:18

• 背景

DL中，我们通过计算损失函数，来衡量当次迭代结果对应各个关键参数权重，在实际描述问题上的有效程度。通过损失函数的变化方向，来获取对应关键参数权重，更趋近于实际结果的梯度方向。从而被我们使用来更新当前参数权重配置，以降低损失函数值，逼近最优解。这一过程被称为一次迭代过程。而通过多次迭代来获取最优解的过程，被称为一次训练。
优化算法是一种更快实现权重逼近的处理办法。常用优化算法能够根据梯度方向和一些其他的关键信息，对当前权重作出更有效率的更新，降低训练所需要的迭代次数，同时提高模型鲁棒性。

1. SGD (stochastic gradient descent) 随机梯度下降法

迭代公式：

每次更新时，只对当前对应批次的被选用样本数据，进行Loss计算，一次计算一次更新。因为计算少，所以速度快，并且可以实现实时计算，支持动态的样本添加。

2. BGD (batch gradient descent) 批量梯度下降法

迭代公式：

每次迭代需要计算当前批次整个数据集Loss，更新梯度。所以每次计算的耗时比较高。对于大批量数据来说，比较难以处理，更新不实时。简单的说，就是粒度太大。

3. MBGD (mini-batch gradient descent) 小批量梯度下降法

迭代公式：

针对BGD每次都需要对当前批次数据集的问题，MBGD进行了改良，每一次更新，取当前批次中的一组子样本集合来进行Loss计算，降低参数更新方差计算，收敛更稳定，并且因为采用子批次构成矩阵运算，更加有优势。

Mark：基础优化算法比较

粒度： 小 SGD < MBGD < BGD 大
速度： 慢 BGD < MBGD < SGD 快
收敛： 低 SGD < MBGD < BGD 高
过拟合： 低 SGD < MBGD < BGD 高

因为SGD每次处理数据单取一个样本点，相比于MBGD的当前批次全数据取子集，和BGD当前批次扫描全部数据，SGD更新权重每次计算出的梯度变化幅度相对都会比较大一些，所以不容易在梯度更新上陷入局部最优解。这也是SGD较其余两种基本算法的最大优势。建议没有特殊要求，而需要在这三种算法中做选择的话，优先使用SGD。

当然，他们都有同样的缺点，那就是：
1. 仍存在易陷入局部最小值或鞍点震荡问题，以BGD为最
2. 仍存在无法根据不同参数重要程度进行变速权重更新问题，即所有权重更新速度统一问题。

1. Momentum 动量化

常用的减震算法，比较容易想到的就是利用阻尼运动特性和加速度（动量Momentum），来减小离散瞬时值的影响。因此，先贤们首先想到的就是梯度迭代动量化。
迭代公式：

动量化是在原有计算权重迭代基础上，通过引入上一次变化值情况，来强化梯度延方向变化趋势。这样做可以使得梯度方向不变的维度，权重迭代速率加快，而方向发生改变的维度，更新速度变慢。并且由于速度此时变化是和之前状态有关系的，就不会发生“指向突变”的情况，有助于减小震荡和跃出鞍点。

超参数 γ 被称为阻尼系数，或遗忘因子，一般取 0.9，表示经验重要程度。

2. NAG 涅斯捷罗夫梯度加速

然而，单纯的动量处理却也存在其他问题。最明显的就是，因为动量叠加，没有修正逻辑的纯动量叠加，会导致每一次的轻微误差也随着时间一起叠加，导致当前时刻 t 时，实际梯度变化速率要远大于实际值，阻尼因子设定过小和初速度过大都可能会久久不能收敛。所以，在动量化的基础上，我们更希望能够有修正方法来减小误差的累积。幸运的是 Y Nesterov 在1983年提出的NAG很好的解决了这个问题。（详细推导过程可参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/22810533）

迭代公式：

NAG较标准动量化处理来说，用来计算当前梯度方向的时候，计算Loss采用的是基于当前上一次梯度变化值预测的，当前状态下，下一次可能的维度权重。以这个预测的维度权重来计算当前位置的方向梯度变化，来修正动量化算法。这样，当我们计算当前 t 时梯度变化速度的时候，就可以从一定程度上避免掉误差堆积导致的问题。这里借用一下Hinton大佬的论文中的图来说明效果：

可以看出：

蓝色是 Momentum 的过程，会先计算当前的梯度，然后在更新后的累积梯度后会有一个大的跳跃。绿色是 NAG 会先在前一步的累积梯度上(brown vector)有一个大的跳跃，然后衡量一下梯度做一下修正(red vector)，这种预期的更新可以避免我们走的太快。

1. AdaGrad 自适应梯度算法

迭代公式：

Gjj 为当前 参数 j 所对应的1到时刻 t 的所有梯度平方和。

可以看出，AdaGrad本质上是将SGD的统一学习速率修改为，有一定预测成分在内的，参数对应独立更新的处理方式。这样处理的好处是，每一个不同参数都会根据当前自身变化和总模型结果关系的差异，独立的进行变更，变化大的会更快，变化小的会更慢。减少了手动调节学习速率的次数。

缺点也比较明显：
1. 前期需要手工设置一个全局的初始学习率，过大值会导致惩罚变化不明显，过小会提前停止
2. 中后期自适应的分母会不断累积导致学习速率不断收缩，趋于非常小从而可能提前结束训练
因此，我们有了改进版

2. RMSprop 均方根传播法

迭代公式：

E[g2]t 为当前 参数j 所对应的1到时刻 t 的所有梯度均方和，有

因为学习速率变化采用的是RMS，某一维度变化较大时，RMS较大；变化较小时，RMS较小。这样就保证了各个维度的变化速率是基于同一个变化量级的，同时也避免了AdaGrad 中后期的学习速率极速下降，过早停止的问题。而且，因为 RMS 采用近似算法，极大降低了内存消耗（毕竟不需要记录每一次的迭代值了）

不过，RMSprop可以看出，仍然依赖于全局学习速率 η 的设定，那么是否能够继续改进不依赖呢？

Mark：AdaGrad 和 RMSprop 单位问题

我们知道，很多问题是有实际含义的，可能是有单位的，比如是米，天等，所以 Δθt一个很自然的期望是，和 x 的单位是保持一致的。但是：

也就是说，对于AdaGrad 和 RMSprop来说，Δθt 权重变化量最终得到的结果，其单位和 θt 单 位并不一致，而是对应时间单位的倒数。而我们要的 权重 θt 是时间单位的。
如果我们使用牛顿法

H 为 Hessian矩阵，即所有参数指定 t 时刻二阶偏导数方阵，有:

这样单位就一致了。但是Hessian矩阵计算量太大，我们没办法直接使用，所以，我们来模拟牛顿法，有：

在∞位置近似等价。这样就可以保证单位一致性。同时我们发现，Δθt 的更新，在这种拟合处理 上，后续迭代不再依赖于全局学习速率 η 。

3. AdaDelta 自适应梯度算法改进版

迭代公式：

E[g2]t 为当前 参数j 所对应的1到时刻 t 的所有梯度均方和，有

相较于前两种，AdaDelta 具有优势：

1. 结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点
2. 不需要依赖于 全局学习速率的设置

这里引用一下特斯拉人工智能主管 Andrej Karpathy 的Demo 来做一下演示，大家感兴趣可以自己上这个网站上试一哈～～

直接上结果：

这个不太明显的话，我们还可以更直观一点～哈哈哈～

那么有没有什么方法，可以结合 Momentum 和 AdaDelta 的优点呢？既解决鞍点，又能自适应学习速率呢？当然有～那就是Adam

Adam （Adaptive Moment Estimation）自适应实时评估算法，相当于RMSprop 和 Momentum 结合的一种算法，标准Adam 可以认为是 一阶AdaDelta 的动量改进版。

迭代公式：

其中，我们为了防止 m、v 被初始化时为0导致向0偏移而做的偏差校正值，有：

β1、β2 都是经验系数，Hinton建议 β1 ＝ 0.9，β2 ＝ 0.999
? 是防爆因子，建议? ＝ 10e?8 避免干扰运算

Adam 很好的结合了前辈们的各种优化处理手段，成为了集大成之优化函数。因此，Adam也是现在主流优化函数之一。

至此，常用优化算法基本梳理完毕。

如果数据稠密，实际上简单的算法就能得到鲁棒性很好 的结果，这时候我感觉应该使用 SGD+Momentum 或 MBGD+Momentum 就能很好的处理得到结果，加动量既可以保证相对快的训练速度，也可以一定程度避免局部最小值。

如果数据稀疏，因为需要对关键特征点进行提取，所以需要用一些自适应算法，对于简单凸性和数据不复杂的算法，可以采用L1、L2正则化+组合分桶，复杂一些的，就需要采用Adagrad, Adadelta, RMSprop, Adam。

如果关键参数更多的出现在运算后期，即梯度稀疏一定程度后，则Adam 比 RMSprop 效果会好。这是后Adam明显是最好的选择～

到目前业界前辈、各路大佬，还在不断探索更优秀优化算法、专精特殊处理改进版本、已有算法的优化处理。希望未来能够见证新的奇迹诞生。

参考文献：
An overview of gradient descent optimization algorithms （https://ruder.io/optimizing-gradient-descent/index.html#fn6）

H. Robinds and S. Monro, “A stochastic approximation method,” Annals of Mathematical Statistics, vol. 22, pp. 400–407, 1951.

Nesterov, Y. (1983). A method for unconstrained convex minimization problem with the rate of convergence o(1/k2). Doklady ANSSSR (translated as Soviet.Math.Docl.), vol. 269, pp. 543– 547.

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