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代数数论chapter0：拓扑群(一)

点击数：更新时间：2024-04-07 23:11:23

这一节主要介绍代数数论所需的一些基础知识。本专栏仅默认读者学过点集拓扑和抽代，掌握一点点的微分流形和范畴论(其实就是我现在的水平)

Definition1.1我们称一个集合为拓扑群，是指这个集合上同时具有拓扑结构和群结构，并且这两者是相容的。回忆拓扑向量空间中，所谓相容，指的就是群的乘法和求逆运算是连续的。即

$\\mu :G\ imes G \\rightarrow G, (x,y) \\rightarrow xy$

$\ u :G \\rightarrow G, x \\rightarrow x^{-1}$

是连续的。这两个条件可以简化为

$\\lambda : G\ imes G \\rightarrow G (x,y) \\rightarrow xy^{-1}$

是连续的（自证）。

下面我们给出一些基本的例子

(1): $\\mathbb{R, R^n, Q}$ 在通常拓扑下作为加法群是一个拓扑群

(2): 所有的Banach空间都是拓扑群(由三角不等式得到)

(3): $GL(k,n)$

(4): 任意非平凡群G赋予离散拓扑成为Hausdorff拓扑群

(5): 单位圆周作为乘法群，赋予欧式拓扑

(6): 拓扑群的子群在子空间拓扑下仍为拓扑群

(7)：考虑p-adic拓扑(后文会详细介绍)。
则 $Q$ 对加法(或乘法)和p-adic拓扑是拓扑群

Definition1.2：若G，H都是拓扑群，若映射 $\\phi :G\\rightarrow H$ 是群同态同时是连续映射，则称 $\\phi$ 为连续同态。若逆映射也存在，则称为拓扑群之间的同构。

Definition1.3：若对任意 $a,b\\in X$ ,
都存在 $X$ 的自同构将a映到b,则称 $X$ 是齐性空间

Prop1.4：拓扑群一定为齐性空间

证明：设 $G$ 为拓扑群，考虑右乘映射

$\\forall s\\in G, r_s: G\\rightarrow G, x\\rightarrow xs$

记 $$ \\phi_1: G \\rightarrow G\ imes G x \\rightarrow (x,s) $$

$\\phi_2: G\ imes G\\rightarrow G (x,s)\\rightarrow xs$

则 $r_s$ 即为 $\\phi_1$ 和 $\\phi_2$ 的复合。因为它们都是连续映射，则 $r_s$ 也是连续映射。同理逆也连续。因此 $r_s$ 为同胚。
考虑 $s=a^{-1}b$ ,则可知G为齐性空间

Rmk：对左乘映射也类似

Prop1.5：设 $G$ 为拓扑群， $A,B$ 是 $G$ 的子群， $x\\in G$ ,则

(1): $A$ 是开(闭)集,则 $Ax$ 和 $xA$ 是开(闭)集

(2): $A$ 是开集,则 $AB$ 和 $BA$ 都是开集

(3): $A$ 是闭集, $B$ 是有限集，则 $AB$ 和 $BA$ 都是闭集

(4): $A,B$ 都是紧集，则 $AB$ 是紧集

证明：简单的点集拓扑，略

我们知道从范畴的观点，邻域结构确定的拓扑空间和一个开集结构确定的拓扑空间是等价的。注意到若 $G$ 为拓扑群, $e$ 为其单位元，设 $U$ 为e的开邻域,那么 $Ux$ 是含有 $x$ 的开邻域。因此只要确定了单位元的开邻域基，进而就能确定G上的拓扑

Prop2.1：设 $\\mathscr{F}$ 为拓扑群G单位元的一个开邻域基族，则有

(1):对 $U,V \\in \\mathscr{F}$ , 存在 $W \\in \\mathscr{F}$ , 使得
$W\\subset U\\cap V$

(2):设 $a\\in U \\in \\mathscr{F}$ , 则存在 $V\\in \\mathscr{F}$ , 使得
$Va\\subset U$

(3):对 $U\\in \\mathscr{F}$ , 存在 $V \\in \\mathscr{F}$ , 使得
$V^{-1}V\\subset U$

(4):对 $U\\in \\mathscr{F}, x\\in G$ , 存在 $V \\in \\mathscr{F}$ , 使得
$x^{-1}Vx\\subset U$

(5):对 $U\\in \\mathscr{F}$ , 存在 $V \\in \\mathscr{F}$ , 使得
$V^{-1}\\subset U$

(6):对 $U\\in \\mathscr{F}$ , 存在 $W \\in \\mathscr{F}$ , 使得
$W^2=WW\\subset U$

事实上，如果 $\\mathscr{F}$ 是G的一组非空子集，且满足上面的命题(1)-(4),则G中存在唯一拓扑， $\\mathscr{F}$ 为单位元的开邻域基，使得G成为拓扑群

例子：

(1): $Q$ 在加法和p-adic拓扑下构成的拓扑群。对 $\\forall t\\in Z$ ,定义 $U_t=\\{\\frac{mp^t}{n}|p\ mid t\\}$

则有$$... \\supsetU_{-1}\\supset U_0\\supset U_t....$$

构成了加法群单位元0的开邻域基

(2): $Q^{\\star}$ 在乘法和p-adic拓扑下构成的拓扑群。对 $\\forall t\\in Z$ ,定义 $V_t=1+U_t$

则有$$... \\supsetV_{-1}\\supset V_0 \\supset V_t....$$

构成了乘法群单位元1的开邻域基

Prop3.1：设 $G$ 是拓扑群，则

(1): $G$ 的每个开子群一定是闭的，每个有有限指数的闭子群一定是开的。

(2): $G$ 的含有单位元 $e$ 的任意一个邻域的子群一定是开的

证明：(1):
设 $H$ 是 $G$ 的开子群， $G\\backslash H=\緻set{b\ otin H}{\\cup}bH$ ,
而由上面的命题1.2,
$bH$ 是开集，那么 $G\\backslash H$ 开，进而H是闭的。若H是闭的。同理，每个 $bH$ 是闭集，指数有限，那么 $G\\backslash H$ 闭，进而H是闭的。

(2):
设 $H$ 是 $G$ 的子群且包含单位元的一个领域，则它必定包含一个含有单位元的开集 $U$ 。显然有 $H=UH$ ，由命题1.2可知 $H$ 是开的

一个自然的问题是：当 $H$ 是 $G$ 的正规子群时， $G/H$ 具有群结构，同时也具有商拓扑。那么这两种结构是否相容？为此，我们有如下的命题

Prop3.2： $G$ 是拓扑群， $H$ 是 $G$ 的子群， $G/H$ 是 $G$ 相对于 $H$ 的左陪集空间，则有

(1):商映射 $\\rho ：G \\rightarrow G/H$ 是开的

(2): $H$ 是开子群，iff $G/H$ 具有离散拓扑

证明：(1):设 $S$ 是 $G$ 的开集，只需证明 $\\rho S$ 是 $G/H$ 中开集，由商拓扑的定义，注意到 $\\rho^{-1}\\rho S=SH$ ，而 $SH$ 是 $G$ 中开集。
故 $\\rho$ 是开映射

(2)： $H$ 的所有陪集都是开集，等价于 $G/H$ 的每个点都是开集，故具有离散拓扑。

Prop3.3： $G$ 是拓扑群， $H\\vartriangleleft G$ ，则 $G/H$ 也是拓扑群

证明：由于 $\\rho$ 是同态，则我们有如下的两个交换图

因为我们只要证明 $G/H$ 中的乘法和取逆运算连续即可。即证明 $\\mu', \ u'$ 连续。由于是交换图， $\\mu, \\rho$ 连续可得 $\\mu'(\\rho\ imes \\rho)$ 连续。设 $G/H$ 中开集 $U$ ，注意到 $\\rho \ imes \\rho$ 是开映射，可得 $(\\mu')^{-1}U$ 是开集。因此 $\\mu'$ 连续，同理另一边连续，证毕。

回忆群论中有关同构的定理，在拓扑群中有一些是成立的。

Prop3.4:设 $\\phi: G_1 \\rightarrow G_2$ 是拓扑群的开连续映射， $N=ker\\phi$ ,
则存在唯一的拓扑群同构 $$\\phi^{\\star}: G_1/N \\rightarrow Im\\phi$$,
且 $\\phi=\\phi^{\\star}\\rho$ , 其中 $\\rho$ 为商映射。

Prop3.5: $G$ 是拓扑群， $L,H$ 是 $G$ 的子群， $H\\subset L$ ,
则将 $L/H$ 视为 $G/H$ 的子空间或是 $L$ 的商空间，这两种拓扑是等价的。特别地，当 $H\\vartriangleleft G$ ,
则 $G/H$ 的每个子群都拓扑同构于一个商群 $L/H$ , $H\\subset L\\subset G$ ,
进一步，如果 $L\\vartriangleleft G$ , 则有拓扑群同构：

$(G/H)/(L/H)\\cong G/L$

由命题1.2，直接可以得到以下的结论

Prop3.6:设 $G$ 为拓扑群， $H$ 是 $G$ 的子群，则：

(1): $G$ 是紧群， $H$ 是闭子群，则 $H$ 是紧群

(2): $G$ 是紧群，则 $G/H$ 是紧空间

我们已经知道拓扑空间的乘积上可以赋予乘积拓扑结构，群的直积也仍为群，由上述类似的证明，这两种结构也是相容的。

Prop3.7:设 $\\{G_i\\}$ 是一组拓扑群，则$$ G=\\prod_{i\\in I}G_i $$

是一个拓扑群

在一般的拓扑空间中 $T_0, T_1,T_2,T_3$
似乎是越来越强的分离性质，但是在拓扑群中，它们都是等价的。
注意到我们这里的 $T_3$ 实际上指的是正则性加上 $T_1$ ,而正则性即为尤承业书中的 $T_3$ .

我们已经知道 $$T_3 \\Rightarrow T_2 \\Rightarrow T_1 \\Rightarrow T_0$$

Prop4.1：每一个拓扑群都是正则的

证明:设 $G$ 为一个拓扑群。我们将证明若 $F$ 是不含单位元的闭子集，则存在开子集 $U, V$ ,使得 $U, V$ 分离 $F$ 和 $e$ 。
因为 $F$ 是闭的， $G \\backslash F$ 是 $e$ 的开邻域。由Prop2.1，存在单位元开邻域 $V$ ,使得 $V^{-1}V \\subset G\\backslash F$ .注意到这等价于
$V\\cap VF=\\varnothing$ .因为 $V$ 开, $VF$ 开， $F\\subset VF$ , $e\\in V$ ,
$V \\cap VF=\\varnothing$ .则同理可知对任意的x都成立。所以拓扑群一定正则。

因此，我们只要证明 $T_0$ 能推出 $T_1$ 即可。

Prop4.2: 一个 $T_0$ 的拓扑群一定是 $T_1$ 的。

证明：设 $G$ 为一个 $T_0$ 拓扑群。设 $x\ e y \\in G$ .
不妨设 $U$ 是包含 $x$ 但不包含 $y$ 的开集。则 $G\\backslash U$ 是一个闭集。它不包含 $x$ .则由正则性，存在开集 $V_1,V_2$ ,分离 $U$ 和 $x$ .进而推出 $G$ 是 $T_2$ 的，因此 $T_1$ .